那么我们就能得到这样一个群：
（0，0）→（0，1）→（1，1）→（1，0）→（0，0）。
不用怕值不一样，它们都是存在，取值都是1，它们显然满足交换律和逆元，毕竟都是单位元。
这里和直积有相似之处，我们后面还要说。

为啥有这个循环呢？学过群论的都知道，群是具有封闭性的，所以它们的来回作用是不能超过这个群的，所以群本身必然是一个循环群。

如果你不理解为什么是（0，0）开头，又是为什么（0，0）之后是（1，0）。
其实根据我们的推导，应当是
（0，1）→（1，1）→（1，0）。
但由于群本身是一个循环群，且（0，1）与（1，0）是偶置换，所以（1，0）后必定是（0，0），（0，0）之后必定是（0，1）。

然后，我们进行群的扩张，它的方法有直积和半直积，但是我们先不谈这个。我们先引入一个新的作用，偶置换，奇置换。我们再来一个四则运算群当然它也可以是四则运算域（更加严苛一点）。

那么四则运算域对于刚刚所构造的群是同态的（群都是单位元且满射此群的群）。
我们熟悉的同构就是群都是单位元且双射此群的群。

四则运算域就很熟悉，就是1234567890带上+-*/（当然，这是十进制的），那嘛，我们该如何处理1+1=2这个棘手的问题呢？
这就要用到奇置换和偶置换了，我们知道：
根据我们的推导，应当是
（0，1）→（1，1）→（1，0）。
也就是，1算是从第一步到第二步，属于奇置换。
2是从第一步到了第二步再到第三步。属于偶置换。
显然，奇置换作用奇置换为偶置换。
所以1+1＝2，这是基于世界的本质——存在推出来的。

那很有意思的来了，3456789以及10是怎么出来的。3我们知道3＝1+2＝0+3＝1+1+1。但我们不建议用后两个，因为我们只有奇置换和偶置换。所以3就可以看做是一个奇置换和一个偶置换。当然这是建立在第一个循环之上的。比如5和1是同余的（mod 4），这样我们就需要用循环的次数来规定大小了。那么5就可以说是第二次循环的（以（0，0）为起始点）的一次奇置换。往后以此类推。

至于9+1=10，这就要用到群的扩张了，我们构造的群仍然需要满足最开始构造的那个群的样子，它是纵向的1+1=2。

我们知道群的种类是有限的，也就是说你如果把那些群都学会了数学问题就不成问题了。

我们知道群有置换群，交错群，循环群。其中含有子群，正规子群，变换，逆变换。变换又有平移，旋转，反演。
子群又有陪集的概念。
如果你对刚刚的1+1=2感兴趣，你可以先看看线性代数里的向量空间，说不定你会有惊喜的发现。

我们只需要知道拉格朗日定理，它表明群的阶数必定是子群的阶数的整数倍。
而且我们可以看到，陪集要么完全相同要么完全不相同。
这个可以查资料去，我就不证明了。

我们要陪集干什么？陪集就是我们所说的物质的运动状态，物质的运动状态是具有封闭性的，不然为什么根据诺特定理，一个对称性就代表一个守恒性。

接下来我们说一说量变质变规律，什么是质变？我想这个在最初的那个循环已经很明白了，就是把“不存在”变为不存在的偶置换，否定之否定也是“不存在”到存在再到不存在的两次奇置换。

可以这样说，只要谈群的扩张，那就是意识的运动状态；谈我们最开始的那个群，是时空的运动状态，也就是光速不变原理。其余种种，都是物质的运动状态。

学过线性代数的都知道，有个词叫做特征值，与此对应的叫特征向量。特征向量，猜猜会有什么火花？