“群论是什么”
在严谨的定义下，一个群G是一个定义了某种二元运算的集合。选择群里面的x,y两个元素，那么将x、y进行二元运算的结果就记作xy。（注意：一般这个运算交换律不成立，就是说xy≠yx）
而且，这个运算满足：
1）对于任何属于G的元素x,y，xy也属于G；（封闭性）
2）对于任何属于G的元素x,y,z，(xy)z=x(yz)；（结合律）
3）存在属于G的元素e，使得对于所有属于G的x，都有xe=ex=x；（单位元）
4）对于任何属于G的元素x，存在一个元素x^(-1)，使得x(x^(-1))=(x^(-1))x=e；（逆元）
要是你没接触过抽象代数，那么我估计你已经晕了。。。不过群作为最简单的代数结构之一，例子是很容易找的。下面举几个有限群的例子，你可以检查一下：它们都符合上面4条规则。
1.平凡群
平凡群很平凡，只有一个元素e，唯一的运算就是ee=e。
2.整数加法群
整数加法群Z包括所有整数({...-3,-2,-1,0,1,2,3,...})，定义的二元运算就是加法。
（快速检查一下：1)整数加整数是整数，2)整数加发满足结合律，3）任何整数加0都是它本身，4）n的逆元当然就是-n）

3.p的剩余类群
这个群比上面两个要复杂。首先我们要求p是一个质数，那么这个群里的元素就有：
{1,2,3...,p-1}
定义的运算是：假如要运算的元素是x、y,那么首先将它们乘起来（就用整数乘法），再求这个乘积除以p的余数。
比如说p=7的情况下，6*3=18,18除以7余4，所以4就是6与3运算的结果。
下面检查一下这个是群：
1）x,y都与p互质，那么xy也与p互质，所以xy除以p的余数不为零。既然这个余数不为零但又小于p，它一定属于{1,2,3...,p-1}；
2）整数乘法满足结合律。。；（有点不严谨，但不影响理解）
3）单位元是1；
4）假设一个元素是x，那么存在的那个x^(-1)满足：x*x^(-1)-1能被p整除。也就是说整数方程x*x^(-1)+np=1有解。因为有个叫做欧几里得算法的东西，这个方程是保证有解的。
另外，中文打起来真心麻烦。。大家介意我多用些数学符号吗？（在楼中楼里回答）

我今天晚上会更新。（我这边是晚上，你们那边已经是第二天早上了。）
话说已经被插楼到插到体无完肤了。。第一次看的人按只看楼主吧。。

4.SO(2)群
这个群所定义的集合是：

这个群所定义的运算，就是普通的矩阵乘法。为了验证这定义的确是一个群：
1）假设A、B是G里面的元素，对应的角度分别为θ、φ，那么：

这个当然也是群里面的元素；
2）矩阵乘法满足结合律；
3）单位元就是单位矩阵（对角线全为1，剩下全为0的矩阵）；
4）将θ换成2π-θ，就得到逆矩阵，也就是逆元。
可能你们想问：这些矩阵是拿来干什么的？这里直接给出答案：将矩阵乘上一个二维向量(x,y)后，就得到将这个向量逆时针旋转θ弧度的向量(x',y')。当然，假如你把几个这样的矩阵（对应角度θ1,θ2,θ3...）乘起来再乘这个二维向量，那就是把这个向量逆时针旋转θ1、θ2、θ3...弧度，结果当然就是这个向量被逆时针旋转了θ1+θ2+θ3+...弧度。
事实上，这个群也可以这样定义：

定义的运算是复数乘法。第一个定义中的矩阵和第二个定义中的复数可以一一对应；而且，将第一个定义中的元素转换到第二个定义下，再用第二个定义计算，得出的结果与先用第一个定义计算再转换的结果相同。这说明两个定义其实是一样的。一般地说，假如有两个群G,H，并且上面两个条件都符合，那么称这两个群形成同构；这样的两个群可以看成是相同的。
我们把第二个定义中的复数在复平面上画出来，结果是一个圆：

这说明，这个群的“形状”是一个圆。这个“形状”对我们的理解来说很重要；事实上这篇文章主要目的之一就是找出SO(3)的“形状”。
这个群叫做SO(2)群，它是接下来要讲的SO(n)（Special Orthogonal，n维特殊正交群）的一个特例。
单独的例子就讲到这里，接下来我将会系统地介绍一遍GL,SL,U,O,SU,SO这些群。另外，接下来所讲的群中，如果我觉得没有必要的话，就不一一验证它们是群了。

注：本文中GL,SL,O,SO中所定义的矩阵都看成是只能有实数项的矩阵，U和SU看成是可以有复数项的矩阵。
1.GL(n)(General Linear Group)

这个群是所有n*n矩阵中最大的群，SL,O,SO和其他我们能想出来的实数矩阵群都包含在它之中，或者说是它的子群。（U和SU因为可以有复数项不算）
2.SL(n)(Special Linear Group)

这个群把GL(n)中矩阵的行列式限制为1。由于线性代数中，det(AB)=det(A)=det(B)，所以两个行列式为1的矩阵相乘行列式也为1，所以这个形成群。
不过。。。由于这两个群包含太多东西，没什么特殊的结构，而且对本文的目的来说没什么可讲的，所以就讲这到这里。。。

3.O(n)(Orthonormal Group)

满足这个定义的矩阵被称为“正交矩阵”(Orthonormal)。将这种矩阵的任何一行或任何一列单独抽出来，看成一个向量，那么这个向量的长度为1；而且，把不同的两列（或不同的两行）抽出来，将它们看成向量做数量积，结果是0。也就是说，这样的矩阵的列构成一组两两垂直且长度都为1的向量。很明显，O(3)中，x、y、z轴上的单位向量就组成这样一组向量；而且，把这三个向量中的某个反转方向，或者将它们绕某个轴旋转，结果也还满足正交性。
不难证明，上面两个定义是等价的。（提示：只要把|Ax|=|x|两边平方后，方程就可以变成x^(T)A^(T)Ax=x^(T)x了。）
这个群的定义并没有规定矩阵的行列式，但是仅仅是正交性就已经使其行列式只剩两个值：±1。这是因为矩阵转置的行列式等于矩阵的行列式，于是：

接下来，我们来仔细看看O(2)这个例子：