回复：讨论、论战草稿

1/（1/2*2/3*......*96/97）=8.3113573789；..............................................................(1)
ln(97^2)=9.149421957，...........................................................................................(2)
一，(1)是一个具有构造结构的，可进行纯乘、除法操作的"一般的、近似意义的计算式"。对它尚未作严密的定义，故还不能轻易称其为"函数"，它的珍贵之处是：具有构造性、可拓性、可进一步进行定性、定量的分析性......。具体应用到命题，它是一个"过渡性"的数学工具。
二，称：1/ ∏(1-1/p）为"概率计算值"，是否在理论上严宻？平庸、生硬地用于计算区间[1，n]的素数个数，其结果只应具偏小的近似性。
三，数学家们在此基础上进行严宻的证明，得到1/ lnx，它优于1/ ∏(1-1/p）。我们有必要为此纠结、纠缠吗？
四，"1/ lnx"好，说到天上，跌到地上，是既定成果，是前人成绩。但，总归是概率，虽"宏观上必然"无误，总欠缺"微观上必然"。
五，是否还值得"多思"？

"素数p>1的自定义是指：所有小于p的自然数都与p互素，记为φ(p)=p-1。便有了“φ(p)=p-1之p是素数”"，
容我直陈已见：
一，欧拉函数解释中有言："......当p是素数时，φ(p)=p-1。......"，语意直白，朴实，准确。根本不须要再作什么新解释，新发挥。所可以的仅只是应用......；
二，语中"当p是素数"，己清楚说p是素数，此素数已是"前人己定义过"了的素数，何以要您再说"素数p>1的自定义......"？还须要您来定义？来再"自定义"？
三，一般而言，对客观事物下定义，是智识人士的"思维+语言"活动，----是人的活动。就算您对前人某定义有质疑，有补充，对其再下定义，也只是人的活动----对事物进行再定性阐述，人是主动方、自动方，事物是被动方、非自动方。何以有"事物自动对自己下定义----自定义"？
四，要用，就直截、朴素地用，别用这"自定义"之类经不起推敲之语；
五，冒犯了！(尤其公)

" 怪了！写出“小于p的p-1个自然数全都与p互素，是p是素数的自定义，取自½(p-1)个等式p=a+b都有(a,b)=1,没有(a,b)>1,即可确认p>2是奇素数。”是完整的多项式鉴别定理。由我写出来 就是我给自己挖的坑。我究竟坑了谁？"，
素数，(是)只有两个正因数(1、自已)的正整数。此语就是对素数p下的定义，是人----数学家对素数p下的定义，不是p在自定义。至於“小于p的p-1个自然数全都与p互素，"之语有误吧？没有。但，它只是p的定义的"应含"之意，是另一种表达，而不是p在"自定义"。当然，这种不同的表达或可有更好的用处？或可邦助我们把问题引向深入，則可另论。
没说您坑人。只说自定义三字是"冗言、沒必要"。至扵听不听由您，我是否胡说，由大家说，我是否有恶意，不自辩。

" 我可以肯定地讲，想搞清n~2n之间素数是怎样分布的，难于上太阳！加油吧！这里是智力的考验。"
一，分求值、求质两步走；
二，分别求[1,n]、[1，2n]两区间素数；
三，求两区间素数个数差。
至扵问："素数是怎样分布的"？一般而言，所问含混，无确切答案。
问："想搞清n~2n之间素数是怎样分布的"，一般而言，所问含混，无确切答案。
收起回复，58楼，2017-04-21 11:59
"吳名尹: ｀至扵问："素数是怎样分布的"？一般而言，所问含混，无确切答案。 ＇里面问题很多。｀无确切答案＇正确。除了知道素数存在，不规则，无穷稀疏分布外。其它知道多少？"
初浅言：
一，素数定义？1为什么不是素数？
二，在有限区间[1,n]里,素数子集空吗？为什么？
三，如何求有限区间[1,n]里素数子集的元素个数？
四，懂不懂n/㏑n、容斥公式的数学内涵？
......(至少还可以问十个以上的更尖锐的问题)
" 我也想问问杨先生一个问题，素数分布能稀疏到什么程度？"，
回复 吳名尹 :
当：n→∞(值)，p(素数元素的值)→∞(值)，同时，当n→∞(自然数元素个数)，则π（n）→∞(素数个数)，
当：n→∞(值)，∞(素数个数)/∞(自然数个数)→0，同时永远不会为0；
我这里清楚地区分开了"∞"所表述的各事物的属性与"值"。
你也知道"当n趋于无穷，素数元素个数趋于无穷。前者大于后者。"，应表述为："前者的阶高于后者"。
对于四，重要的是其"数学內涵"，
对于三，关鍵是"如何求"，
对于二，要紧的是"为什么"，
......。
这里声明一下：∞(值)、∞(自然数元素个数)等写法不妥。这只是笨拙的权冝之法。严格讲，只应用∞表达无穷大，它不是一个数，它只是一个抽象概念、境介、某种状态、范畴。
"吳名尹: 这里不是论文，只要能让人懂即可。再问一下，素数分布究竟能稀疏到什么程度？"
请允许用∞(高)表示某相对高阶无穷，∞(底)表示某相对底阶无穷，
一般地，∞(底)/∞(高)→0，并不是说：当n→∞，素数就消失了。它仍存在，仍增加，仍发散，伴着n→∞(个自然数)而发散为→∞(个素数)。
多说几句，那些相邻素数p(j)、p(k)之差n'(值)的序列仍表现为：
p(k)-p(j)=n'，则：
n'=2 ∨4 ∨6 ∨8∨10∨......∞(n')，
即当：n→∞(n)，则：n'→∞(n')，
此时：必：∞(n')/∞(n)→0。
面对这些抽象概念，可思不可及的境介，我们怎能把"稀疏到什么程度"说准确？
回复，62楼，2017-04-21 17:04

回复 发现DNP :请先思考一个问题：一般地：要证明”事件x存在”，......。证明任务是証明x的量x（量）及x的质x（质）都存在。即：
一，先定义x（质），x（质）：必是；不可能不是；它在大前题中，所以一定是；.......(1)
二，再定义：x（量）≧1..............................................................................................(2)
证明方法：
一，先定义x（质），即先肯定x（质）是、必是、给定是、限定是；
在定义规定的”x（质）是、必是、给定是、限定是”的原则下，证明”x（量）≧1”
陈景润即此法，他开章明义讲：“命x为......此处P（1）、P（2）、P（3）为素数......”。
此法普遍被使用。
二，先定义：x（量）≧1，再证明：”x（质）是、必是”。
这在数学教科书上去翻，亦是广泛使用。
三，当迂到极棘手问题时，前两法均无能为力时，怎么办？哥猜、孪对等待解问题就是棘手命题。怎么办？本人策略是：复合的大三段论法。
在一个范畴中证明
x（量）≧1；（下限、不超过真值的近似值)..............................................................(三1)
再另一个范畴中证明
x（质），即先肯定x（质）是、必是...........................................................................(三2)
再在一个大三段论法中证明：
.(三1)中x（量）≧1、(三2)中x（质），即先肯定x（质）是、必是，是待证x的两个必然具备结果............................................................................................................................(三3)
因为您说：”但这须要证明。而你没有完成这个证明。”，此语可深可浅、可大可小地解释。为谢诚意，在此泄漏几句天机。
截此现在，名人、大家、此处用心人也只在方法(一)中摸索。而那些"歪、恶、油、牛、痞、混......"还连边也不沾。
我现在面对此处最好的人，也只在(三1)中与人争吵，远未触及(三2)......。聪明人，把此"策略"一看就明白了。我曾以此，与正而八经的诸位博、导人士面陈过数次，均无否定言。原著已在若干个报刋、杂誌、文集发表。

备伞、烦听、和而不同、唯一不变的就是“变”、越平凡的小事，越要做好、不要羡慕他人的坦途，不要逃避自己的人生、真诚地表达谢意、你就是你。世界上的人有千千万万，你还是你。”
印象最深刻的就是她谈论到两性关系时说道：“两个世界的人没有什么关系，你应该庆幸我们是两个世界的人，他会为你带来另外一个世界，你可以穿梭在两个世界当中。”
这也就不难理解汪涵和杨乐乐同台会受到这么多人的关注了。他们各自有自己的空间，在一定程度上两个空间相互交互从而产生奇妙的反应。不光恋人如此，朋友之间也是一样道理。
所以，我们应该“承认彼此的差异，尊重别人的选择，让不同的人，各得其所。相互理解和包容，学会取长补短，生活也才会丰富。”
拥有感知“变化”的能力
在这个世界，唯一不变的就是“变”。
时时刻刻更新观念，蕴含着人类本能的追求。”，发自内心的道歉才能得到真正的原谅，

我们往往渴望能够有个高手能够指点迷津一下，得到内心的一丝平静。
所以今天熊爷给大家介绍的这本书：《每天做好最重要的一件事》，作者是人称“经营之神”的松下幸之助，也是一个金句大神。
松下在这本书写下的每一句话，都像是汩汩的清泉，抚慰我们芜杂焦虑的心绪。
有一位读者，看完这本书后评论道：“松下大神的每一句话，都值得我们贴在墙上。”
赶走焦虑，这10句话能续命噢！
淋过雨之后，就要知道准备雨伞
如果下雨了却没伞可打，是因为没有做好应对阴雨天的准备。
“淋过雨方知雨伞的重要，才会考虑为避免淋雨，要提前准备好雨具。”
我有个朋友，她的背包常年备着雨伞、药品、纸笔等各种看似并不常用的东西。
我们常常说她神经太过紧绷，但事实上她总能解救我们于水深火热之中，也验证她说的那句：把东西都准备好，遇到麻烦时才不会显得那么窘迫。
其实对于人生，也是如此。
人的一生，时晴时雨，有正路坦途，也有曲折坎坷。
我们只有准备一把“居安思危”的伞，在一帆风顺时不忘乎所以，等遇到人生之雨时，才能从容撑伞，淡定前行。
“雨天需要伞，工作需要伞，人生需要伞。不管什么时候，伞都不可或缺。”
倾听比表达重要
倾听别人的声音，有时候比说话还重要。
只凭个人才智行事，很容易思想僵化、视野狭窄、陷入泥潭。
所以，如果可能，不论什么人，说什么话都认真听一听。两种、三种乃至更多声音，多多听取他人意见，丰富自己的心灵。
我问过一个心理咨询师，做心理咨询最重要的能力是什么；她回答：“倾听。”
她说，有时候在咨询室里，她一句话也没说，来访者在倒完一堆苦水之后居然自己解决了问题。
可见，说的话被别人认真地听着，是一件多么治愈的事。
试着身体前倾，聚精会神地侧耳细听……对方的言语就能为我们吸收，渗入我们的思想，丰富我们的心灵，开启我们的新知。
和而不同
才是朋友最好的相处之道
每个人都有不同的观点，但并不妨碍大家同桌共饮。不同的喜好，自有不同的妙处。
汪涵和妻子杨乐乐罕见同台主持，一下子窜上了网络热搜；于是有段采访杨乐乐的视频又火了。
印象最深刻的就是她谈论到两性关系时说道：“两个世界的人没有什么关系，你应该庆幸我们是两个世界的人，他会为你带来另外一个世界，你可以穿梭在两个世界当中。”
这也就不难理解汪涵和杨乐乐同台会受到这么多人的关注了。他们各自有自己的空间，在一定程度上两个空间相互交互从而产生奇妙的反应。不光恋人如此，朋友之间也是一样道理。
所以，我们应该“承认彼此的差异，尊重别人的选择，让不同的人，各得其所。相互理解和包容，学会取长补短，生活也才会丰富。”
拥有感知“变化”的能力
在这个世界，唯一不变的就是“变”。
世界瞬息万变，昨天的观念到今天已经过时；今天的方法明天可能就行不通了。
比起因为变化而产生的危机，意识不到变化的存在，才是真正的危机所在。
其实道理很简单，就像换季一样。
感受温度的变化，懂得给自己添衣减衣，适应气候的变化。其他方面亦然，感受到“变”，并做出改变。
懂得做自己的小风扇，也要成为自己的小棉袄。
所以，我们不能墨守成规，满足现状；而应该更新迭代，不断成为更高版本的自己。
“时时刻刻更新观念，蕴含着人类本能的追求。”
发自内心的道歉才能得到真正的原谅
很多时候，当我们和别人发生争执，拼命找借口替自己辩护，其实心中是有悔意的，只是碍于一时的私念或者面子，而无法将道歉的话说出口。
或许，你可以这样：
如果不想道歉，就暂时不要道歉好了。与其表现得毫无诚意，不如在心里烦恼、悔恨和流泪，或许这样你的心意更能传达给对方。
等想通了，发自内心想要道歉的时候再去好了，或许这时对方也会为自己的行为道歉呢。
越平凡的小事，越要做好
“早上起床梳头洁面。接受别人的东西时要说谢谢。给别人添了麻烦要说对不起。弄乱了东西要收拾好……”
身而为人，这些最平凡的小事，理所当然都要做到。
这让我想起黄磊，这几年他在演艺圈的势头不比小鲜肉差，除了超高的双商和精湛的演技之外，观众更喜欢的却是他在生活中的表现。
在《向往的生活》里，搭灶做饭、摘玉米和抓鸡养狗，每一件看似平凡的事他都做得井井有条。
所以，重新认识小事，静下心来认真反思自己的日常行为。
“社会的繁荣发展，其实正是被这些平凡的小事所推动，并不一定需要多么高深的原理。我们只须把理所当然的事情做好，把大家认可的工作做到理所当然。”
不要羡慕他人的坦途
“每个人都有属于自己的、独一无二的人生之路，这是上天为你铺就的尊贵之路。我们无法预知这条路是否好走，但必须自己去走、去体验，他人无法替代，也不能重来。”
所以，不要羡慕他人的坦途，不要逃避自己的人生；
只要坚定信念、一刻不停地走下去，就一定会开辟出属于自己的人生心境，并从中收获深深的喜悦。
沟通要带着一颗真心
很多朋友对熊爷倾诉，说自己不懂得如何与别人沟通。
市面上也有很多的话术、沟通术，教大家各种沟通的技巧。
然而，在沟通中，技巧是其次，掏出真心、坦诚交流，才最关键。
《花儿与少年》收官之季，最后有个面对面真心话的环节。杨祐宁对江疏影说：“我对你的第一印象是觉得你很吵，但是后来我发现你像一个温暖的大姐姐。”
杨祐宁并没有去讨好江疏影什么，只是很坦诚地说出他对江疏影从刚开始的不满到后来慢慢地改观。没有过多好听的话，但却能感受到他心底最真实的声音。
只有真诚以待，才能彼此信赖，从而体会到人际交往中的幸福。
真诚地表达谢意
“表达方式和语言能力需要学习，感谢之情的流露却是每个人与生俱来的。”
我们经常说谢谢，但这些谢谢有哪些只是言语上的表达，而又有哪些才是真情流露？
比如，在感谢外卖小哥送餐时你说的谢谢可能只是言语上的表达，也许对方并不能感受到你的真诚。
我们不妨看着别人的眼睛，双手接过餐盒，真诚地说一句：“谢谢，辛苦你了！”这样，外卖小哥或许会因为你真诚的感谢而心情愉悦一整天。
所以说，真诚地表达自己的谢意，是我们将喜悦和感动传递给他人的，最简单的方式。
“谢谢您、托您的福”，这些简单的只言片语，却能给生活带来很多温暖和喜悦。
大家差不多，却又不一样
大家长着相似的脸，仅因为心理上存在微妙差异，行为上略有不同，就有的幸福，有的不幸。
而想要获得幸福，就应该拥有生而为人的自信和自豪，做独家版本的自己，依靠自己的能力，走自己的路。
在前面提到的杨乐乐的采访视频中，她也说了类似的观点：
“我们要无私地去做奉献，但也应该为自己有所保留，不要完全去牺牲，而失去自我。”
“你就是你。世界上的人有千千万万，你还是你。”
普通人，平凡人，就平凡、普通、耐心地与平凡、普通的亲人过平凡、普通的日子吧。

复制一楼，再评：
“王元在《数学大辞典》57页说：“实际上，容斥原理就是埃拉托色尼筛法。”紧接着，他用这种筛法得到：
π(N)=(r-1)+{N-∑[N/pi]+∑[N/pi×pj]-∑[N/pi×pj×pk]+∑[N/pi×pj×pk×pl]-……}。。。。.。。（1）
有人用“比例法”或者“比值”法计算：
π(N)=N(1-1/p1)(1-1/p2)(1-1/p3)(1-1/p4)……——其实，它可以展开出下面结果
={N-∑(N/pi)+∑(N/pi×pj)-∑(N/pi×pj×pk)+∑(N/pi×pj×pk×pl)-……。。。。。。。。。。.（2）
在这里，[N/pi]是整数，其结果千真万确。(N/pi)中必定有小数点，不是整数，不能满足要求，细节决定成败，它们不是π(N)的答案。
容斥公式绝对正确，但是，计算繁琐，需要简单化，简单化过程中，是容许出现小数点的。”
一，（1）式是容斥公式，不可质疑。无论57141等如对其多有微词，决不可能动摇它的真理性及它的理论意义。特别是它尚有可进行深入分析、推广、拓深的空间。
二，(2)式仅仅是一个普通的简单的连乘式。它的优点(或称特点)是：
1，具有数学结构；
2，可以据计算法则进数学搡作；
3，当要应用它时，可对所含字母、符号、文字、数字进行命题所需的"概念、定义、所遵定律、定理、法则"予以数学赋性、约束......。因此，它具有潜在的可拓性；
4，两者关系，现在被数学**辈、数学浅薄辈、不入门之流、急功近利之徒、文革遗老遗少、住在金丝笼子里的金丝鸟们、......诸类人歪曲、横扯乱撕的不成样子了。要厘清，何其难！要讲给他们听，且听懂，更何其难！何况还要进行推广、拓展......！
(必要时再讲)

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15楼
2018-07-01 19:2
此，57141文，留存备用

王元先生《数学大辞典》早就把为什么勒让德容斥公式没有用讲得清清楚楚：

57141的软肋是：
一，自己没东西拿出来，说明他对命题可能没思考过，或者思考过，然而无能为力；
二，只会发图片，拉虎皮吓唬人，其实有些东西他并不谙塾，用的也不一定都正确；
三，为了诡辩，反复夸大“余项”带来的困难，甚至于用下述谬论：
允许A=B，但不允许B=A，
从A可导出B，但不允许从B索其源----A，
四，－言堂，只准他说话，不准别人答辩，
五，刀枪不入之策：“横扯、歪曲、吓人、不回答别人质疑、骂人、删贴”
……
当然，他对某些错误观点及错误言论的某些批评也是正确的，还应该尊重和听从。
论战、讨论，还是别用不文雅词语。至於他不自尊，把自己贬置到”文痞、文霸、文癞、类泼女“水平上去，是他自己的事。也许是他的职责使然，也许是他的本性如此，如同c'd's、x除x之流，也许是他的兴趣在于”恶搞“。
此处是”自由、无效、无意义、无价值“论坛。有人在叙己见，有人在发泄，有人在滚地撒泼，……。可惜的是也有好人，抱善意，也走了有价值的几步，确……。
各述己见，各自好之为之！

:回复 王宝军44 :对连乘积：
（1-1/p(1)) *（1-2/p（2））*（1-2/p（3））*……（1-2/p（ω）），
不可简单地肯定它，更不可绝对否定它。要科学地分析它。要讲理----要论述它……。
它只是一个过渡性的小环节，绝不是“一般性的证明的全内容”。耿守明天把它“玩”的太过，57141等把它攻击的……，

囬南宫老鹤："请教：何为"广义的、不失一般性两筛"？"
您好!
广义，概念、定义很宽。"广义积分"是广义一词在数学上的典型例。
爱氏筛法的内涵(概念、定义、适用范囲、操作方法、结论)非常"具体，清楚"，很具"狭义"性。将其内涵依据数理逻许可的推广：筛组里的子筛个数(组合意义的)h、筛的大小l、使用次数e、取出元素n的(类)属性、方向性ψ......，等进行推广，拓展。形成一个很大的"筛法方案----尺测方案"类集O(广)，此O(广)可区分出：各子筛l只使用"e=一"次的类集O(一)，某些子筛只使用"e=二"次的类集O(二)，......。因此，可以说：爱氏筛法实际是一个"不失一般性的具体、特殊的一筛方案----一次尺测方案"元素o(爱)。o(爱)∈O(一)。自然地，欧拉函数φ(n)也属于一筛范畴，即就是说相应方案元素o(φ(n))∈O(一)。
在"e=二"次的类集O(二)里，必有很多(组合意义、方法生成的)"两次筛"方案元素o(二i)，且o(二i)∈O(二)。称o(二i)为"广义的、不失一般性两筛方案(尺测操作)"。
哥猜涉及两筛，哥猜方案符号o(G类)，孪对方案符号o(孪)都属于两筛方案元素类集O(二)里，即o(G类)、o(孪)∈O(二)。这说明哥猜、孪对具有共源性。
抽象点讲："广义的、不失一般性两筛剩非空，......所以不失一般性互异向两筛剩非空，哥猜在其中，必非空，......"。
见<<2=1+？......>>。

就此楼标题而言，难以断言：一定能。从另一角度讲，完全不用现有的筛法，可以断言：一定不能。我的观点：必须推广、拓宽现有筛法，就必然可以。即"广义的、不失一般性两剩非空，......不失一般性互异向两筛必非空，哥猜在其中，非空..."。
何谓广义？何谓两筛？何谓互异向两筛？为什么非空？为什么可关联于命题？等，不是很的话可以说清的。下面是一个关于与哥猜解集G(y(i))的基数x(真i)能(很好)近似的，纯"量"意义的，有构造结构及构造方法形成的，其中每一符号，每一个字母含意都可以清楚地说清其所指的，用(一般的)乘法方法可操作的一个函数，可以求近似值x(近i)，关联于偶数集y(i)∈Y，x(近i)所形成的序列，其序列的图象必很好地相似于、贴近于相对应的x(真i)的图象。
"一般地，给定一个有限的自然数元素y，称为被研对象与相关作用函数∏(1)∏(2)，构成一个求某(意义的)近似值x(近)的函数关系：
x(近i)≈(1/2)y(i)∏(1)∏(2)，
概念、定义、相关约朿：
∏(1)=∏(p(i)-1)/p(i)，p(i)整除y(i)，共计a个连乘因子，ω≥a≥1
∏(2)=∏(p(i)-2)/p(i)，p(i)不整除y(i)，共计b个连乘因子，ω-1≥b≥0：
a+b=ω，ω为区间[1，√y]里最大素数的序号，即p(i)要取够a+b=ω个。"
简言：区间[1，√y(i)]里y(i)非素因子放∏(2)里，素因子放∏(1)里。
当然，仅此不行。这里面有许多为什么？要讲清。否则，就是少理，缺理，无理。
这里有验证大师，请验证。
陈君佐、上海愚工：还无法操作吗？