放个简单点的题吧记N(x)为x^2+1最大素因子，求证存在无穷个素数p以及正整数x<y<z<p满足N(x)=N(y)=N(z)=p.

记α=(1+根号5)/2，求证每个正整数可以表示成若干个α的不同整数幂次之和.

73楼问题，反设存在，注意到把x换成y-x后x^2-xy+y^2值不变，故可得到以下引理:A，B，C中任两个里面各选一个数，它们的和不可能属于第三个集合.不妨设1在A里面，则任何连续若干个均不在A中的数必然全在B中或全在C中，再利用引理可以推出存在任意长的连续数段全在B中或C中，取此数段长度大于B，C中的最大元素，设此长段前一个A中元素为a,B,C中最小元素为b,c,则a+b在C中或a+c在B中，总矛盾.

圆外切四边形ABCD内心为I，点X满足AX,CX与IX夹角相等，求证BX,DX与UX夹角也相等.

三角形ABC外心为O，圆BOC与ABC九点圆交于P，Q.求证角PAB=角QAC.

分别求(1^2+1)(2^2+1)...((p-1)^2+1)以及(1^2+1+1)(2^2+2+1)...((p-1)^2+p-1+1)模p余数，其中p为奇素数.

若一个首一整系数多项式所有复根模长均不超过1，则其每个非零根为单位根.

P(x)是一个2019次多项式，满足存在无穷对整数对x不等于y满足xP(x)=yP(y),求证P有整数根.

再放个类似题，若正整数n满足σ(n)>2n，则称n为盈数.求证存在无穷个正整数，其中任两个之和为盈数.