为什么说 ω 是无法言说的绝对实无穷。【超宇宙吧】

即不存在语句，其所言说的 ω 就是真正的 ω ，达到言说 ω 的效果。
理论只是语句的集合，语句本身只是单纯的句子，我们所需要的是其所表达的语义——所指的对象，而这本身将会构成对语句的解释。称 M 是理论 T 的模型，在于 M 能够成为 T 的语义解释，包含全部 T 中语句所指的对象。
由哥德尔(语义)完备定理，一阶理论的一致性与其模型的存在性等价，但由哥德尔(语法)不完备定理，包含初等算术的理论无法证明自身的一致性。
而一个理论 T 是一致的，仅仅是关于 ω 的一个事实，即不存在一个自然数 n，n 编码了 T 中语句推导 0=1(矛盾式) 的证明序列。
假如存在可以言说真正的 ω 存在的语句 p，我们就把它加入理论 T，记为 T[p] 。
那么以 ZFC[p]+“ZFC[p]是一致的”的为例，由于 ZFC 可以证明哥德尔完备性定理，所以 ZFC 就可以根据“ZFC[p]是一致的”证明存在一个 ZFC[p] 的模型 M，因为 M 也是 p 的模型，所以 M 中的 ω 就是真正的 ω 。
又因为 M 是 ZFC[p] 的模型，这就意味着 ZFC[p] 是一致的，ω 中就不会存在一个自然数 n 编码 ZFC[p] 到矛盾式的证明。所以“ZFC[p]是一致的”就在 ω 中成立并且在 M 中成立。
所以，M 就是 ZFC[p]+“ZFC[p]是一致的” 的模型。
而 ZFC[p]+“ZFC[p]是一致的” 又证明了 M 的存在。
所以，ZFC[p]+“ZFC[p]是一致的” 就证明了 “ZFC[p]+“ZFC[p]是一致的” 是一致的”，即证明了自身的一致性。
由哥德尔不完备定理可知 ZFC[p]+“ZFC[p]是一致的” 是不一致的。
所以就根本不可能存在语句 p 这样一个能够言说出真正的 ω 的语句——除非这个理论不一致——但这也并非代表这样的语句真的存在，而是说哪怕假设它存在，也是必然会引发矛盾的语句。
可以说真正的 ω 是只在神中实现的绝对实无穷。

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1楼2022-09-08 14:16回复

换言之，即使是超越一切数学，也触及不到到真正的 ω。

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来自Android客户端2楼2022-09-08 14:22

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对于 ω 中的每个自然数，原则上都是可以言说的，但对于 ω 本身却是不可能言说的，任何对其的谈论都是在说远不能与之相提并论的虚假的 ω。这就是无限，真正的无限，无法通过有限的迭代观念把握的绝对无穷。即使是虚假的 ω 也向我们展现了这样的事实：ω之下皆为有限，但又不存在n使得n+1等于ω，换言之，ω与有限相隔的即不存在本身。
这也是为什么希尔伯特旅馆中不存在第ω号房间的原因，因为不存在这样的房间。即使将它定在所有自然数号房间之后，那么当你立于ω号房门前之时，回首望去，所能看见的只有“无”——不存在什么能够连通 ω 。0,1,2,……,ω——此处1的左边是0，2的左边是1，但ω的左边空无一物。

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来自Android客户端4楼2022-09-08 14:32

终归到底，所有的数学理论都不过是为 ω 所反映的诸多事项中微不足道的一部分。这就是名为无限的真实。

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来自Android客户端5楼2022-09-08 14:36

众所周知的希尔伯特纲领，其中心思想便是将整个数学都奠基在算术的基础上，但其破灭不过是因为，不完备定理表明了算术真理——关于 ω 的诸事实是人类无法穷尽的，人类所能穷尽的都只是其中微不足道的一小部分。

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来自Android客户端6楼2022-09-08 14:40

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值得一提的是， ω 是无法言说的这件事本身也是 ZFC 可证的。为什么？难道 ZFC 就可以谈论到真正的 ω 了吗？当然，ZFC 所谈论的就是真正的 ω ——对于 ZFC 而言。任何一致的理论都无法谈论到真正的 ω，然而由于不完备定理，ZFC 是无力谈论自身的一致与否的。（甚至于，由于不完备定理，若ZFC是一致的，则ZFC+“ZFC是不一致的”也是一致的，从而让 ZFC 脱离这个限制）
当我们在 ZFC 中工作时，ZFC 就是全部时，其所谈论的 ω 就是真正的 ω，ZFC 所能证明的 XX理论的一致性都会在其上反映，因此对于那些一致性强度在 ZFC 之下的那些理论，ZFC 就可以证明它们谈论的 ω 都不会是真正的即自身所谈论的 ω 。
换言之，我们从理论中得到一致的理论都无法谈论真正的 ω 这一十分玄学的结论，而通过跳出该理论，便会发现这一曾在谈论真正的 ω 的理论同样会因是一致的而谈论的仍不是真正的 ω 。当然，我们总是身处某一理论中，真正的玄学幻想是妄图断言所有理论的一致性，并更近一步的直视那个不可名状的 ω 。而这只会是不切实际的yy了。

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12楼2022-09-09 11:27

结论：本帖并没有提到什么无法言说的 ω ，显然，如果是真正的不可言说，又怎么可能会被提到呢？但凡提到的都是低劣的摹仿罢了。
这里仅仅只是说明在 ZFC 中可以证明弱于它的理论无法谈论被 ZFC 证明存在的 ω 而已。

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13楼2022-09-09 11:36

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14楼2022-09-09 11:48

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最后，可以粗略的看下能够确保真正的 ω 意味着什么
假如一个 ZFC 的模型 M 中存在真正的 ω (或同构物)，由于 ZFC 的模型本身意味着 ZFC 的一致性，所以 M 也是 ZFC+“ZFC是一致”的模型，故 M 中还会存在一个 ZFC 的模型 N，又由于在 ZFC 中可以做力迫法证明 con(ZFC)→con(ZFC+p)，故 M 中会包括无限多满足彼此矛盾的命题集的宇宙，从而是一个集合论多元宇宙。
而这又意味着ZFC+“ZFC是一致”也是一致的，所以 M 也是 ZFC+“ZFC是一致”+“ZFC+“ZFC是一致”也是一致的” 的模型。通过力迫法，我们又可以得到 M 中存在无限多满足彼此矛盾的命题集的集合论多元宇宙，从而是一个集合论多元-多元宇宙。——以此类推，永无止境。
而这仅仅只是开始。
假如 ZFC+存在不可达基数也是一致的，那么这一事实便会反映在真正的 ω 上，从而让 M 中存在实现 ZFC+存在不可达基数的宇宙。
与此相同，假如 ZF+存在极限无界闭伯克利基数也是一致的，那么这一事实便会反映在真正的 ω 上，从而让 M 中存在实现 ZF+存在极限无界闭伯克利基数的宇宙。
可以说哪怕是人类未来或许可能发现的远超如今的全新大基数公理 A，只要其与 ZF 或是其它公理集 T 一致，那么这一事实便会反映在真正的 ω 上，从而使得 M 也包括实现 T+A 的宇宙。
这就是绝对实无穷的含金量，可以让所在模型直接包含所有大基数公理的实现。

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16楼2022-09-09 14:15

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至此，我们展现了真正的ω在一致性强度方面的体现，其毋庸置疑地超越并凌驾于一切大基数公理之上。
ps：所谓的大基数排名，便是按照大基数公理的一致性强度来排序的，即说公理A高于B，是在于ZFC+A可以证明“ZFC+B是一致的”
但另一方面，真正的ω仍是依旧远远超越并凌驾于此上，即使是由所有的算术真理(关于真正的ω的真命题)——包括所有理论的一致性真伪——所构成的免疫哥德尔不完备定理的完备又一致的完美理论，希尔伯特理想中的万有理论，也依旧不可能谈论到真正的ω，为什么呢？
因为ω是弱紧致基数。

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来自Android客户端32楼2022-09-11 22:41

假设满足在真正的 ω 上成立的所有真命题的集合 A 的「ω」就是真正的 ω，令 ZFC∪A = T，则 T 可证明 ω 满足的真命题集就是 A。接下来在 T 中，通过扩张集合论语言，即加入 ω 个常元符号 {k_n：n∈ω}∪{Ω}，并令 Z∪A∪{∃xφ_n(x)∧x=k_n：n∈ω}∪{k_n＜Ω：n∈ω}∪{Ω＜「ω」}，其中 Z 就是没有 FC 的 ZFC，或者是 ZFC 可以证明其一致性的其它能够证明存在 ω 的理论，「ω」便是该理论可以证明存在的 ω，φ_n(x) 则是其可证明存在的自然数 n 唯一具有的性质。换言之，这个理论证明存在的「ω」即满足 A 却又多出了一个大于所有自然数的异物——Ω。而这可能(不矛盾)吗？
称 k 是弱紧致基数，当且仅当仅含 k 个非逻辑符号的基数为 k 的语言的任意基数为 k 的理论 ∑，∑ 的基数小于 k 的子集都一致的话，则 ∑ 本身也是一致的。
而对于 Z∪A∪{∃xφ_n(x)∧x=k_n：n∈ω}∪{k_n＜Ω：n∈ω}∪{Ω＜「ω」} 的任一有穷子集 ∑，T 都可以证明 ∑ 是一致的，因为这些 ∑ 只包含有穷个涉及 Ω 的语句，故 Ω 都可以被解释为一个足够大的自然数。
那么因为 ω 是弱紧致基数，所以 Z∪A∪{∃xφ_n(x)∧x=k_n：n∈ω}∪{k_n＜Ω：n∈ω}∪{Ω＜「ω」} 也是一致无矛盾的，T 就可以证明存在一个「ω」，其满足 A 却并不是真正的 ω。
换言之，即使是人们关于真正的 ω 所能诉说的所有事实，都仍不足以言说把握真正的 ω，是真真正正的超越语言。

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36楼2022-09-12 10:17

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为什么说 ω 是无法言说的绝对实无穷。

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